Fonction exponentielle

Définition de exp, nombre e, positivité, croissance, dérivabilité, règles algébriques, limites, croissances comparées, équations et étude de fonctions.

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📐 Définition et règles algébriques

Définition

Il existe une unique fonction f telle que : f'=f et f(0)=1 Cette fonction est la fonction exponentielle : x↦exp(x)=eˣ e = exp(1) ≈ 2,71828… (irrationnel) Notation : exp(x) = eˣ

Propriétés algébriques

Propriété

Pour tous réels a, b : eᵃ⁺ᵇ = eᵃ·eᵇ eᵃ⁻ᵇ = eᵃ/eᵇ (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ e⁻ᵃ = 1/eᵃ (eᵃ)ᵇ = eᵃᵇ e⁰ = 1 Propriétés de la courbe : • Toujours >0 : eˣ>0 pour tout x∈ℝ • Strictement croissante sur ℝ • Courbe passe par (0,1) et (1,e)

⚡ eˣ>0 pour TOUT x réel, même très négatif. Ne jamais écrire eˣ=0.

Dérivée et convexité

Théorème

(eˣ)' = eˣ (eᵘ)' = u'·eᵘ (dérivation en chaîne) Conséquences : • eˣ est dérivable sur ℝ • (eˣ)'=eˣ>0 : strictement croissante • (eˣ)''=eˣ>0 : convexe sur ℝ Tangente en x₀ : y=eˣ⁰(x−x₀+1) En x₀=0 : tangente y=x+1

Exercices

EX-EX1FacileCalculs avec exp

Simplifier : e²·e³, e⁵/e², (e³)², e⁻¹.

🧮 Résoudre avec IA

EX-EX2IntermédiaireÉquation exponentielle

Résoudre eˣ=e²ˣ⁻¹.

Fonction exponentielle

6.1 Définition et propriétés

6.2 Limites et étude de fonctions