Variables aléatoires

Une variable aléatoire X associe à chaque issue ω de l'univers Ω un réel X(ω). Loi de probabilité : tableau donnant P(X=x₁), P(X=x₂), …, P(X=xₙ) avec Σᵢ P(X=xᵢ)=1 Espérance : E(X) = Σᵢ xᵢ·P(X=xᵢ) = 'valeur moyenne' de X sur un grand nombre d'expériences

Variance : V(X) = E((X−E(X))²) = Σᵢ (xᵢ−E(X))²·P(X=xᵢ) Formule de calcul (plus pratique) : V(X) = E(X²) − (E(X))² où E(X²)=Σᵢ xᵢ²·P(X=xᵢ) Écart-type : σ(X) = √V(X) Interprétation : σ(X) mesure la dispersion autour de la moyenne.

⚡ V(X)≥0 toujours ; V(X)=0 ssi X est constante (presque sûrement).

Pour toutes variables X, Y et réels a, b : E(aX+b) = aE(X)+b E(X+Y) = E(X)+E(Y) (toujours vrai) Variance : V(aX+b) = a²V(X) V(X+Y) = V(X)+V(Y) (si X et Y indépendantes) Écart-type : σ(aX+b) = |a|·σ(X)