Charge et décharge d'un condensateur à travers une résistance, constante de temps τ=RC, équation différentielle du 1er ordre, capteurs capacitifs.
Section 4 — Ondes & Signaux
Formule cléConstante de temps et équations
Constante de temps : τ = RC (en secondes, si R en Ω et C en Farads)
Charge du condensateur (E = tension source) :
u_C(t) = E·(1 − e^(−t/τ))
i(t) = (E/R)·e^(−t/τ)
Décharge du condensateur (tension initiale U₀) :
u_C(t) = U₀·e^(−t/τ)
i(t) = −(U₀/R)·e^(−t/τ)
À t = τ : u_C = E·(1−e⁻¹) ≈ 0,63E (charge) ou u_C = U₀·e⁻¹ ≈ 0,37U₀ (décharge)
Presque complètement chargé/déchargé à t = 5τ
DéfinitionÉquation différentielle
Lors de la charge : RC·(du_C/dt) + u_C = E
C'est une équation différentielle du 1er ordre à coefficients constants.
Solution générale : u_C(t) = E + K·e^(−t/τ)
Condition initiale u_C(0) = 0 → K = −E
→ u_C(t) = E·(1−e^(−t/τ))
Vérification : à t=0, u_C=0 ✓ ; à t→∞, u_C=E ✓
PropriétéÉnergie stockée dans le condensateur
Énergie emmagasinée : E_C = ½·C·u_C²
À pleine charge : E_C = ½·C·E²
Capteurs capacitifs :
• Capteur de pression : déformation modifie la distance entre armatures → C change
• Capteur d'humidité : humidité modifie le diélectrique → C change
📊 Charge et décharge du condensateur u_C(t)
Charge (bleu) : u_C = E(1−e^(−t/τ)). Décharge (orange) : u_C = U₀·e^(−t/τ). À t=τ : 63% ou 37%
📝 Exercices d'entraînement
EX01
Facile
Constante de temps
R = 10 kΩ, C = 100 μF. Calculer τ. À quel instant u_C = 9 V si E = 12 V ?